UNIDAD Nº III. FUNCIONES Y GRÁFICAS

El plano coordenada, plano cartesiano o sistema coordenadas rectangulares o cartesianas

Ejercicios: Represente los siguientes puntos en un sistema coordenado rectangular: A( 5, -2), B( -5, -2),
C( 5,  2), D( -5, 2), E( 3, 0) y F( 0, 3).

Gráficas de ecuaciones con dos variables

Producto Cartesiano:

Si tenemos los conjuntos: A = { a, b} y B = { c, d, f}

El producto cartesiano de estos dos conjuntos, A x B (en este orden), es el conjunto de todos los posibles pares ordenados, tales que la primera componente del par ordenado es un elemento de A y la segunda componente es un elemento de B.  La expresión A x B se lee "A cruz B" ó "A por B" y se expresa, por descripción, en la forma siguiente:

Esta expresión se lee: la pareja ( a, b) tal que x permanece al conjunto A, y pertenece al conjunto B. La rayita vertical se lee "tal que".

Si se desarrolla el producto, la expresión queda así:

Los elementos del conjunto producto forman "parejas ordenadas"; en el ejemplo anterior son:

En la pareja ( a, c), a se denomina primera componente y c segunda componente. En el caso particular de que los elementos de los conjuntos sean números reales, es costumbre llamar a la primera componente de la "pareja ordenada" abscisa y a la segunda ordenada.

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = { 1, 2, 3 } y B = { 4, 5 }; obtener el producto cartesiano A x B y representarlo en el plano cartesiano.

Se observa que el número de pares que forma A x B es igual al producto del número de elementos del primer conjunto por el número de elementos del segundo elemento.  Las parejas se representan como puntos en el plano cartesiano:

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN:

Una función f es una relación entre los elementos de un conjunto A, con los elementos de otro conjunto B; pero no es cualquier relación sino una que satisface la condición especial de que cada elemento del conjunto A (llamado el dominio de la función) esté relacionado con exactamente un solo elemento del conjunto B (llamado el codominio o rango de la función).

Sin embargo es posible que un elemento del conjunto B (el rango) esté relacionado con uno o varios elementos del conjunto A (el dominio) y aun así se tendrá una relación de función entre ambos conjuntos, como se ilustra en la siguiente figura:

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (el conjunto A llamado conjunto de partida) a un elemento de un segundo conjunto (el conjunto B llamado conjunto de llegada). Entre éstos mismos conjuntos, una relación tal como:

Definida del conjunto A al conjunto B no sería una función, puesto que uno de los elementos del dominio (el elemento c del conjunto A), se relaciona con dos elementos distintos del rango (los elementos 3 y 4 del conjunto B).

En este espacio infinito y continuo de parejas ordenadas (x, y) donde x e y son números reales, una función  quedará definida exactamente igual que antes, es decir, por cierto subconjunto de parejas ordenadas de este espacio, tal que no exista en él un par de parejas con el mismo valor x y distinto valor y.

Al representar gráficamente el subconjunto infinito de parejas ordenadas que constituyen una función, se podría obtener una sucesión continua de puntos que forman una curva plana y a su vez, cada punto de la curva representa una pareja ordenada de tal subconjunto.

  

y = f(x) que se lee: "y es función de x" o también "y es igual a f de x" para indicar que una variable y es una función de la variable x.

Se llama dominio de una función f, y se designa dom f, al conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente y.

Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente x que tienen algún valor de la variable independiente y que se transforma en él por la función y = f(x).

TIPOS DE FUNCIONES

Según como se relacionen los elementos del dominio con los elementos del rango, una función puede ser: inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Función inyectiva: La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto de llegada Y tiene como máximo un elemento del conjunto de partida X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen en Y.

Ejemplos:

La función identidad (es una función en la que cada valor resultado tiene el mismo valor de origen) f(x) = x es una función inyectiva.

La función nula f(x) = 0 o la función constante f(x) = c (es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente  x, la variable dependiente y no cambia, es decir, permanece constante) no es una función inyectiva porque las imágenes siempre son 0 ó c.

La función

 no es una función inyectiva porque, por ejemplo: f(2) = 4 = f(-2).

Función sobreyectiva: Una función f es sobreyectiva  si todo elemento del conjunto salida Y tiene al menos un elemento del conjunto de partida X al que le corresponde.

Ejemplos:

• La función identidad f(x) = x  es una función sobreyectiva ya que cualquier real de la variable independiente y tiene la anti-imagen o dominio en la variable dependiente x.
• La función constante (es aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente) f(x) = c, no es una función sobreyectiva para cualquier valor de la variable independiente x, la variable dependiente y no cambia, es decir, tiene una sola imagen.
• La función valor absoluto f(x) = |x| no es una función inyectiva puesto que cualquier entero positivo y negativo tienen las mismas imágenes.  La función f(x) = |x| es una función sobreyectiva porque el dominio tienen dos contraimágenes iguales.

Función biyectiva: Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto de llegada Y tiene un único elemento del conjunto de partida X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto de partida X tiene una única imagen en el conjunto de llegada Y (condición de función inyectiva).